最理性的學科，最不理性的數學家。　　這是一場「青蛙和老鼠的戰爭」──愛因斯坦　　是什麼樣的數學問題，最後成為國家民族的尊嚴攻防戰？　　是什麼理論，讓伯努利家族父子反目、兄弟鬩牆？　　笛卡兒和費馬為解析幾何和光學問題爭論不休。　　牛頓和萊布尼茲，為了誰先發明微積分爭得你死我活。　　數學的邏輯基礎問題，讓龐加萊和羅素吵個沒完沒了。　　作者哈爾‧赫爾曼在這部作品中，既探討了數學，也探討了時代的精神。作者參考了許多書籍、信件和文章才醞釀出這本精采的作品。由今天的數學發展進程看來，這十大引起爭端的數學理論與觀念，在數學和科學領域當中都有舉足輕重的地位。羅素的邏輯主義到現在仍不乏支持者。康托爾的集合論成為現代拓樸學和分形學的基礎，也為無窮小量微積分打下了堅實的基礎。　　作者的妙筆讓我們見證了數學和歷史的演進，也讓我們看見了人性的狡詐、自私和野心。在種種人和事的交織之下，我們領悟：爭論，帶來文明中最長足的進步。

作者簡介哈爾．赫爾曼（Hal Hellman）　　是《科學中的大爭端》（Great Feuds in Science）、《醫學中的大爭端》（Great Feuds in Medicine）、《技術中的大爭端》（Great Feuds in Technology）的作者。這些書都由威立父子出版公司出版。他還在眾多媒體上發表過文章，如《紐約時報》（New York Times）、Omni電視臺、讀者文章（Reader’s Digest）、《今日心理學》（Psychology Today）和Geo等。譯者簡介范偉　　自由翻譯者，畢業於中國海洋大學，現居湖北黃岡。

書籍推薦人　　洪萬生教授（國立台灣師範大學數學系教授）　　蔡炳坤校長（台北市立建國高級中學校長）　　汪宇（復旦大學數學叢書主編、十大學術出版人）　　讀赫爾曼這本關於數學史上衝突的書，那些認為數學家是冰冷、死板的證明機器的人，會深深受益。書中的主角，和我們身邊的任何一個人一樣容易激動、難以相處。但赫爾曼的故事也向我們展現：科學的爭鬥，是如何的帶來了更明確的闡述，和更可靠的論據。——德克‧范‧達倫，烏德勒支大學哲學系教授　　赫爾曼引人入勝的文字，顯示了當偉大的數學家們擁有極具破壞力的數學武器時，會發生些什麼事。——威廉‧杜海姆，穆倫堡學院教授　　一本極其迷人的作品，揭示數學家人性化面貌的佳作。——《美國數學協會》

推薦一：從科技爭議看數學知識成長的意義洪萬生（台灣師範大學數學系教授）　　數學史上是否曾經發生革命？在數學史家社群中，有關這一問題之討論可以說是眾說紛紜，莫衷一是。這或許也是本書作者一開始對於是否接受此一書寫委託時，一直猶豫不決的主要原因之一。　　是的，如果數學史不斷地見證數學知識的永恆確定性，從而有關它的爭議（controversy）無關真理，那麼，數學的恩仇錄大概只好訴諸於「數學家也有一般人的七情六欲」之說法了。　　事實上，這也是一般人的看法。無怪乎作者一開始對數學的認識，也難以超越。不過，作者逐步蒐集文獻，並且向數學史家如道本周（Joseph W. Dauben）等請教，最後，他為我們訴說了十個相當有趣的故事，為某些突破性的數學發展之滄桑，作了極有歷史洞識之註腳，非常值得我們一起來分享。譬如說吧，作者在他的〈緒論〉中，就引述了一個魯本．赫希（Reuben Hersh）的有關數學知識風貌的比喻：「數學就像一個出色的餐廳，在前面的用餐區，顧客們享用著乾淨且精心烹製的數學菜餚」，然而，在火熱的廚房中，數學家卻在看起來雜亂無章的環境中，烹調他們的「新知識」。「這種氣氛包含了火爆的脾氣、紊亂不安、失敗與成功。而我們所關注的正是這個餐館的後半部──廚房區。」　　換句話說，過程（process）是掌握知識本質的一個不可缺少的環節。也因此，科技爭議（scientific controversy）所涉及的知識之認知面向，就值得科學史?數學史家的大加關注了。這是因為目前的數學與科學教學，都由教師提供「正確的」知識，由於是精心烹調的成品，所以，學習者都難以窺探它們如何製造，從而他們通過溯源的「理解」（understanding），也就大受限制了。　　我在此無意凸顯皮亞傑（Jean Piaget）所謂的「發生認識論」（genetic epistemology）之重要性。不過，歷史上的科技爭議所以值得關注，乃是因為它可以啟發我們思考知識成長（或發展）及其「非後見之明」的過程，並進一步想像另類的可能性。如此看來，所謂的爭議絕對不只是引發人與人之間的「恩仇」而已，更多的時候，由於爭議者彼此擁有的典範之不可通約（incommensurability of paradigm），遂出現知識實踐層次上的各說各話，而在最終成就了科學史的豐富多元圖像。　　現在，就讓我們瀏覽本書的十個爭端。　　有關三次方程式的公式求解爭議（本書第一章），一般的西方數學通史著述都納為主題之一，尤其打算涵蓋方程式理論的發展史時，更是不容錯過。事實上，這是一個一再「傳頌」的故事，有些史家甚至還指出它如何「見證」十六世紀義大利科學研究的贊助機制。不過，無論當時科學的贊助（patronage）實質內容如何，研究成果的優先權之重要性，卻始終如一。　　這種關乎優先權的爭議，當然推動了科學的進展。本書第二、三章所提供的，是十七世紀的故事，主角轉換成為笛卡兒與費馬（兩位都是法國人）、牛頓（英國人）與萊布尼茲（德國人）。後者的爭議涉及微積分發明之優先權論戰，也是數學史上耳熟能詳的經典故事之一，至於前者，則較少人知，在一般的數學史著述中，它也很少受到青睞。不過，正如曾深入研究費馬的數學史家馬霍尼（Michael Mahoney）所評論：「歷史上很少有科學爭論能揭示參與者這麼多的個性，也很少有科學爭論，能揭示個人因素對理性論述影響到這個程度。」事實上，費馬與笛卡兒有關解析幾何與光學的爭論，極少涉及優先權，反倒較多地關乎方法論層面的議題，而這當然是被後世譽為近代哲學之父的笛卡兒，所無法承受的批判，因為他的成名作正是《方法論》──其中「附錄」《幾何學》也就是他發明的座標幾何。這場爭議的最後得勝者是笛卡兒，然而，他獲益極其有限。相反地，費馬這位失敗者卻被激發鬥志，提出了十分重要的「最短時間原理」，奠定了幾何光學之基礎，並且對數論、機率論以及微積分，都做出了巨大的貢獻。　　在前述的科學爭議中，捲入這個是非圈的非法國人扮演了微不足道的角色。然而，在有關誰先發明微積分的優先權之爭議中，被動員的數學家與科學家就上升到「國家級」的規模了，於是，所謂的民族主義，似乎在科學史上有了第一次的操兵機會。其結果是英國贏得了面子，裡子卻輸得精光！根據數學史的研究成果，在牛頓去世的一七二七年到一八四三年發明四元數的漢彌頓（William R. Hamilton）現身之前，英國在一百多年之間未曾孕育出偉大的數學家，究其原因，英國數學家堅持不向歐陸學習萊布尼茲式的微積分（包括符號及其應用），實在難辭其咎！事實上，牛頓先發明了微積分，但相對於萊布尼茲，卻較晚發表。相反地，萊布尼茲較晚發明，卻較早發表。兩人的彼此獨立發明，是科學史上多元發現（multiple discoveries）的最佳例證之一。撫今憶往，要是慣於「廉價消費」民族主義的知識份子有一絲絲靈長類的智慧，很多歷史的公案大概都會改寫才是。　　現在，讓我們將歷史場景，拉到也介入微積分優先權論戰的瑞士數學家家族伯努利兄弟上（第四章）。這個家族的「數學基因」令人驚異，因為他們在三代之間，一共出了八位著名的數學家。但不幸地，他們也都表現了罕見的親人之間的互相痛恨，至於其原因則並非為了王位或遺產繼承，而是爭論譬如誰先解決了最速下降曲線問題，堪稱是歷史上的一大異數。無怪乎本書作者以「史上排名第一的鬩牆之爭」，來形容這種不可思議的「個人恩怨」。這種相當惡質的競爭，當然帶動了微積分及其應用的大幅進展，不過，「代價」看起來實在太大，顯然不值得推崇。　　到了十九世紀，數學雖然愈來愈往抽象化面向發展，然而，它與自然科學之連結，甚至於在方法論方面是否具有共通之處，在英國成為赫胥黎與數學家之間的爭議要點。赫胥黎在一八七○年代，科學聲望如日中天（他對達爾文演化論的捍衛，贏得了「達爾文的鬥牛犬」之封號），他的演講和著作強烈地警惕英國政府，必須在教育過程中強調科學訓練的重要性，因此，他對英國現代科學及其教育之鼓吹，可以說居功甚偉。不過，顯然源自無知與輕率，他認為「數學家只考慮物體的兩種性質：數量與範圍。所有他想要的歸納，都已經在很多年以前形成和完備了。他現在除了推論和證明之外，無事可作。」對於這樣一個出自科學名流的論調，數學家社群當然必須伺機反擊，而他們找到的合適人選，就是著名的數學家西爾維斯特。至於西爾維斯特所採取的策略，則是指出觀察、猜想、歸納、試驗、推理等一般認為自然科學的知識活動，也與數學研究方法密切相關。可惜，赫胥黎從未回應西爾維斯特的批評，不過，到了晚年，他倒是修正了有關數學知識本質的偏頗看法。　　在第六─九章這四章中，本書所討論之爭議，都離不開康托爾所創立的集合論，因此，讀者在閱讀時，千萬注意此一順序才好。第六章中有關克羅內克與康托爾的爭議，當然也是數學史上極著名的個案，值得我們好好地理解它的前因後果，尤其是它高度相關了後面幾章的論述。事實上，本章爭議起因於意義（meaning）vs. 邏輯（logic）的張力，亦即一個邏輯上可以站得住腳的證明，可能在某特定的數學哲學主張下顯得毫無意義，而這正是康托爾的無窮集合及其超限算術（transfinite arithmetic）所面臨的「困境」。克羅內克所以無法接受，正是由於他的哲學立場不容許這種無窮集合的概念，於是，他對於康托爾的集合論當然也就不假顏色了。至於其結果，當然就是學術地位不對等的康托爾付出慘重的代價！不過，有些數學史家倒是注意到：克羅內克和康托爾之間的鬥爭，根本不是傳統與創新的數學形式之間的衝突，而是新典範之間的競爭。其實，這一場爭議顯然是由於數學本體論的分歧所引發。　　克羅內克是數學基礎學派中所謂的直覺主義之先驅，他對於數學物件（mathematical entities）的存在之主張膾炙人口：「自然數是上帝造的，其他都是人造的。」既然是人造的，當然要求必須建構（constructive）得到，因此，也就無法允許表徵「真實無限」（actual infinity）的集合論之正當性了。　　這種涉及哲學立場的數學知識之意義或正當性（legitimacy），在第七章波賴爾和策梅洛的論戰中，也再度上演。康托爾在處理他的連續統假設（continuum hypothesis）時，必須依賴良序原理（well ordering principle）。為了證明後者，策梅洛提出選擇公理（axiom of choice）。由於這個公理涉及無窮多的選擇，因此，隨即引發爭議的風暴，有贊成也有反對，但反對者居多。「最大的爭議集中在法國的數學家之間，其中，最主要的反對者是埃米爾．波賴爾。」波賴爾反對的理由，可想而知是他「堅決反對缺乏建構性的方法」。不過，正如史家的後見之明所指出：「這整段歷史插曲中最具反諷意味的是：對這個公理最強烈的反對，正是來自法國分析家小組──貝爾、波賴爾和勒貝格，而他卻在無意中非常頻繁地用到它，他們的工作部份地說明了數學不可缺少它。」　　在第八、九章中，作者主要說明數學基礎的三大學派彼此之間的論戰。先是第八章中，龐加萊（又是法國人！）與羅素針對數學的邏輯基礎之爭議，焦點當然是羅素所主張的邏輯主義（logicism），企圖將數學化約為邏輯。然後，是第九章的希爾伯特與布勞威爾針對形式主義（formalism）vs. 直覺主義（intuitionism）之爭！　　在一八九一年克羅內克去世之後，龐加萊就成為康托爾超限算術的主要反對者，而羅素的邏輯大廈則建立在康托爾集合論的基礎上，因此，龐加萊 vs. 羅素當然一點也不令人意外。最後，邏輯主義功敗垂成，不只存在有一些數學概念無法利用邏輯來定義（因此化約主義〔reductionism〕無法證成），同時，正如龐加萊所指摘：「在邏輯中，我只看到了束縛創造者的鐐銬。它對簡潔沒有幫助──而且差得很遠。如果在說明1是一個數時，需要27個函數，那麼，要證明一個實數有關的定理，得需要多少個函數呢？」　　正如第八章一樣的論戰之起因，有關形式主義與直覺主義的爭議（第九章），也源自數學哲學的基本立場之迥異。根據希爾伯特的比喻，形式主義下的數學知識活動可以類比為西洋棋遊戲，其中各棋子的名字只是提示性的，至於西洋棋的走法，則完全取決於慣例和遊戲規則。因此，形式主義顯然主張數學不過是一種沒有意義的符號遊戲。譬如，一八九一年，希爾伯特曾經主張：「在所有的幾何陳述中，用桌子、椅子、啤酒杯這些詞來代替點、線、面應該是可能的。」後來，他在一八九九年發表《幾何學基礎》，當然出自他希望為歐氏幾何學建立一個更加穩固的基礎，同時也消除數學對直覺的依賴。而這顯然是他與布勞威爾的直覺主義衝突的主要導火線。事實上，希爾伯特因為支持康托爾的關係，已經捲入衝突。他還認為克羅內克的執著威脅了數學的進展，因為數學與高度主觀的直覺基礎結合，並通過逐步建構，其前景將大受限制。希爾伯特剛好相反，他只要求邏輯表達與一致性。此外，他強烈主張克羅內克極力反對的無理數，不應該排除在數字的世界之外，因為沒有它們，分析學領域將淪為不毛之地。　　由於分析學很多定理除了與無理數有關之外，還必須依賴邏輯學中的排中律，才能加以證明。而與希爾伯特同為《數學年鑑》編輯委員的布勞威爾，基於直覺主義的認識論立場，竟然反對排中律的使用，兩人的嚴重衝突，當然就不可避免了。　　面對這場無解的衝突，希爾伯特顯然被迫遊說《數學年鑑》的編輯同仁，將布勞威爾除名，因為他擔心一旦早死，布勞威爾將掌控這個當時全世界最有威望的數學期刊。從此一事件來看，希爾伯特固然自詡為救世主，希望拯救數學基礎的危機於水火之中，然而，布勞威爾其實也不遑多讓，儘管他在拓樸學方面做出了不朽貢獻，根據數學家兼數學史家范德瓦爾登（van der Waerden）的採訪，布勞威爾後來「不再確信他在拓樸學中的成果，因為從直覺主義的觀點來說，它們不是正確的。他以前所做的、最偉大的成就和他的錯誤，他都按照他的哲學來判斷。他是一個很奇怪的人，瘋狂地愛著他的哲學。」　　當然，在希爾伯特這一方面，排除布勞威爾也算不上是一種勝利，因為哥德爾在一九三○─一九三一年所發表的不完備定理，就一舉摧毀了形式主義者「終將知道」的一致性與完備性的美夢！　　數學的基礎在哪裡？或者它有可能並不存在？所有這些可能永遠沒有答案！不過，數學哲學的立場絕對影響數學教學的策略，因為數學是被發現的或被發明的，顯然都依序連結到絕對主義?柏拉圖主義，以及易誤論?建構主義。這是本書最後一章的主題，卻也被近幾年來將數學教育改革誇大成為「數學戰爭」（math war）的學者所忽略！作者在歷史上的數學恩仇錄之終章安排此一題材，似乎意在指出：實踐是檢驗真理或意識型態的最佳手段！如此看來，前面九個故事，煽情也罷、悲壯也罷、恩怨也罷，在時間的沈澱下，都可以在本書找到最好的依托！數學爭議可以讀出認知的意義與價值，這是本書閱讀的最佳切入點，也是我推薦本書的主要理由。推薦二：我讀《數學恩仇錄》──深刻領略了數學理性與感性的豐富樂章蔡炳坤（臺北市立建國高級中學校長），寫於二○○九年四月十二日　　我，從小就喜歡數學。並不是對數學特別有天分，也不是碰到特別好的數學老師，而是因為只要上課聽懂了（這句話很重要，數學的學習重在理解），就可以在大大小小的考試中得高分，不必像其他科目必須背誦許多東西，記得當年參加高中聯考的時候，幾乎考滿分。印象中，從小學到國中，每次作文題目「我最喜歡的科目」，我都毫不猶豫地寫「數學」。後來進了師專以後，注意力轉移到了音樂方面，也就慢慢與數學疏遠了。直到四年前，我的孩子高中畢業選擇「數學系」當第一志願，我才又開始接觸與數學相關的議題或書籍。我的學校──建中，又是全國高中數學學科中心學校，有機會經常與傑出的大學數學教授、優秀的高中數學老師們討論相關課題，多少也薰染了一些數學的專業氛圍。　　日前接到博雅書屋的編輯部門邀我撰寫本書導讀的訊息，的確有所猶豫，我主修的領域是教育，並非數學，如何能夠勝任這項專業的工作，但當開始試著閱讀時，竟然流暢地停不下來，愛不釋手於每個事件的情節中。總的來說，從本書譯名開始，就注定了她「成功」的吸引力，主標題《數學恩仇錄》（~Great Feuds in Mathematics＆）可以比擬名作家大仲馬所著《基度山恩仇記》（~Le Comte De Monte-Cristo＆）（一部膾炙人口，描寫善有善報、正義伸張的小說），到副標題《數學史上的十大爭端》（Ten of the Liveliest Disputes Ever），其實就是十個深富哲理與人情世故的有趣故事（篇篇讀來淋漓痛快，讓人廢寢忘食），雖然當中有諸多難解的數學公式、深奧的解題方法或艱澀的專有名詞，我未必都看得懂，但並不影響故事情節高潮迭起的巧妙舖陳，更多的是人性好惡的探索、學術倫理與價值觀的衝突、激情過後的深刻省思等等，趣味中帶著淚水，科學中蘊含人文哲理。我雖自不量力，但非常樂意地帶領青少年莘莘學子們，一起領略數學理性與感性的豐富樂章。　　作者哈爾．赫爾曼選擇十六世紀中葉作為本書選材的起點，首先登場的便是赫爾塔利亞和吉羅拉莫．卡爾達諾（第一章），這兩位義大利數學家誰才是求解三次和四次代數方程式的原創者的爭議？又究竟卡爾達諾曾經對赫爾塔利亞做出什麼樣的承諾，自此一再遭受「背信棄義」的嚴重指控？凡此種種都在一五四五年《大技術》一書出版後引爆開來，這本書，直到現在，仍被眾多學者認為是文藝復興時期的科學傑作之一，可與維薩里的《人體構造》、哥白尼的《天體運行論》相提並論。令人驚訝的是，直到一五七六年，兩人差一年相繼去世的三十餘年間，「授權」與「剽竊」之爭從未間斷，公說公有理，婆說婆有理，雖未對簿公堂，但在數學界所掀起的軒然大波，果真是「罄竹難書」，對這兩位數學家而言，或有「既生瑜，何生亮」的遺憾情結，但就整個數學界的發展來說，也未必全然的負面，作者寫下了這樣的註腳：「當赫爾塔利亞和卡爾達諾兩人鷸蚌相爭時，毫無疑問地，數學是那個得利的漁翁。」讀過精采的原創之爭，想必您心有戚戚，在智慧財產權尚未充分彰顯的那個年代，數學家不得不對自己的創見有所保留，在展現某些問題的解法時，卻對所用的方法保密，以免被他人據為己有。有人可以終其一生為捍衛原創而戰鬥，姑且不論真相如何（似已成為羅生門），但其維護自身權益，不計?譽、奮戰到底的意志，倒是值得今之學界仍多少存在的抄襲現象，引以為鑑。　　接下來的這個故事更精采了（第二章）。眾所周知「我思，故我在」出自法國哲學家勒內．笛卡兒的名言，他在一六三七年所發表的《方法論》中以「一種系統化的懷疑」哲學思考寫道：「不能確知是對的事，不要接受。這就是說，在判斷時謹慎地避免倉促和偏見，只接受那些截然清晰地印在腦中不容置疑的東西。」這本書是好幾個學科領域的里程碑論著，涉及哲學、科學史，以及數學思想。有人把她與牛頓的《原理》一書相媲美，並認為她為十七世紀數學的偉大復興做出了卓越頁獻。人們多半因為這本書，普遍地把統一代數和幾何，甚至是創立解析幾何的榮譽歸於笛卡兒。的確，「笛卡兒座標系統」就是以他的名字命名的。然而，笛卡兒在《方法論》三篇文章中的兩篇（折射光學與幾何），卻成了與同是法國人的業餘數學家皮埃爾．費馬爭論的焦點。說到「費馬最後定理」（Format’s Last Theorem），也是無人不知、無人不曉的重大發現。著名的數學史學家貝爾（E. T. Bell）在二十世紀初所撰寫的著作中，稱費馬為「業餘數學家之王」（是由於他具有法官和議員的全職工作）。貝爾深信，費馬比他同時代的大多數專業數學家更有成就。十七世紀是傑出數學家活躍的世紀，而貝爾認為費馬是十七世紀數學家中最多產的明星。在近二十年的數學爭端中，貝爾如此形容：「讓脾氣有些暴躁的笛卡兒和沈穩內斂的『Gascon』費馬並駕齊驅，看來極不自然。在關於費馬切線理論的爭議中，這個好戰的傢伙（笛卡兒）經常煩躁易怒，出語刻薄，而這位不動聲色的法官卻表現得真誠、謙恭。」讀過笛卡兒和費馬在數學理論上的爭辯，頗令人有文人相輕之慨，但話說回來，所謂的「真理」愈辯愈明，未到最後關頭，勝負難分，亦隨著時間的變化而被凸顯出來，作者對此寫下令人玩味的註腳：「一場曠日持久的爭鬥誕生了一個明顯的勝利者和失敗者。但具諷刺意味的是，勝利者（指笛卡兒）從爭鬥中受益微薄，而失敗者（指費馬）卻被爭鬥激發，提出了科學上一個重要的原理，為微積分的發展打下了重要的基礎。」的確是如此，笛卡兒漸漸遠離了數學，專注在哲學和形而上學的研究，在尊敬和讚譽聲中結束了榮耀的一生。而費馬則繼續鑽研數學，默默耕耘，並做出好幾項重大頁獻。　　相較於前述兩位義大利數學家「原創」之爭、兩位法國數學家「理論」之爭，接下來要登場的是英德「微積分發明」之爭，主角分別是伊薩克．牛頓與威爾海姆．萊布尼茲（第三章），兩人從未謀面，但因為這兩人的追隨者富有侵略性的行為，使得這場爭端狂熱地持續了一個多世紀，難怪科學史家丹尼爾．布爾斯丁將他們的爭端命名為「世紀景觀」。牛頓的主要興趣在於用數學方法解決自然科學問題，「萬有引力理論」的提出就是明證，但萊布尼茲則像笛卡兒一樣，希望在哲學上有重大創建，認為數學可以為他開路。前者在英國被奉為偶像，並受封為爵士，一七○三年被推舉為皇家學會的主席，並連年當選，直到一七二七年去世為止，且被授予國葬尊榮；後者的聲望在歐陸也是快速增長中，一六九九年法國科學院製作的外籍院士名單中，牛頓排名第七位，而萊布尼茲則排在第一位，他在符號邏輯和微積分，還有好幾個其他領域，特別是宇宙論和地質學，都做了很重要的早期研究，只是到了晚年，微積分的爭議事件蒙上了巨大的陰影，凡事皆不順利，一七一六年在漢諾威去世時，只有生前的一位助手參加葬禮，令人不勝唏噓！究竟這兩位人類有史以來最傑出的天才之一，誰才是微積分的首創者呢？總的來說，在微積分發展上，牛頓約在一六六五─一六六六年，而萊布尼茲則在一六七三年以後，是由牛頓領先；至於微積分的發表上，萊布尼茲在一六八四─一六八六年，而牛頓則在一七○四年以後，卻是由萊布尼茲領先。簡單地說，牛頓先發展了微積分，但沒有公諸於世，萊布尼茲先發表了微積分，而且他的方法更好用，也確實先投入運用。這項首創的榮譽應該歸誰呢？他們各自的國家都訴說著完全不同的故事。這場爭論並沒有因為兩人的去世而停歇，並導致了兩個重要的結果：一是兩派數學家之間的關係破裂了，一直持續到十九世紀；二是在萊布尼茲微積分的基礎上，歐陸的數學家在十八世紀取得了飛速的進步，大大超越英國的數學家。是以，作者寫下了如此簡短而有力的註腳：萊布尼茲輸了那場戰役，卻贏得了整場戰爭。您說，不是嗎？　　哇！連著三大爭端讀下來，過癮極了！在接下來的故事中，有兄弟鬩牆者（第四章）、有觀點不同者（第五章），前者便是瑞士的伯努利兄弟，哥哥雅各透過自學鑽研數學，三十三歲已經成為巴塞爾大學的教授，萊布尼茲對他有相當高的評價。弟弟約翰原本學醫，但與雅各一樣，心在數學，所以私底下跟著哥哥學習數學。他們兩位是首先認識到微積分的重要性，並將其投入運用、向世界宣傳它的意義的數學家。然而，他們之間卻也為了誰的地位更崇高而發生了激烈的論爭，最後爆發成一場彼此之間公開的數學挑戰。而後者便是英國的湯瑪斯．赫胥黎和詹姆斯．西爾維斯特，赫胥黎是一位有著崇高威望的科學家，在動物學、地質學和人類學領域都作出了重要的頁獻，他對當時新提出並廣為人所增恨的「進化論」的捍衛，為他贏得了「達爾文的鬥牛犬」的封號，他喜愛科學，在他的腦中，科學是生命的一部分，對於數學，他卻敬而遠之，他把數學看成一種遊戲，但與科學無關，所以他說「數學對觀察、實驗、歸納和因果律一無所知」，簡言之，「它對實現科學的目的無用」。這話可把西爾維斯特給惹惱了，他是猶太人，是個桀驁不馴、飽經磨難的人，是一位才華洋溢的數學家，也是一位鬥士、一位出色的演說家。一八六九年，時為英國協會（也稱英國科學促進協會）數學和物理學分會主席的西爾維斯特，在主席講話中，回應指出「數學分析不斷地援引新原則、新觀念和新方法，它不能用任何言語來定義，但它促使我們大腦裡內在的能量和活力爆發出來，透過持續地審視內心世界，不斷地激發我們觀察和比較的能力。它最主要的手段是歸納，它需要經常求助於試驗和確認，它給我們最大程度地發揮想像力和創造力，提供了無盡廣闊的空間。」當鬥牛犬遇上鬥士，各自迥異的觀點令人窒息，「但對於英國教育和美國教育系統來說，他們能夠並肩作戰，實是我們的幸運。」作者如是說。　　一個歐幾里得廣為人知的「普遍觀念」是：整體大於它的部分。這個觀念在一八七○年代早期，被一位不知名的數學家質疑，主張：就對數和數論來說，整體不一定大於它的部分。他就是創造了集合論，並將集合論和無窮這兩個觀念結合起來，提出了無窮集，為數學世界開創了一個廣闊新領域的格奧爾格．康托爾。他大膽尋求突破的行動，對利奧波德．克羅內克這位保守的知名數學教授、曾經友好地支持過他的老師來說，就像是「數學的瘋狂」，克羅內克毫不客氣地批評康托爾是一個科學騙子、叛徒、青年的敗壞者。這場長達數十年的康托爾與克羅內克爭端（第六章），兩位社會學家柯林斯和瑞斯提沃提出了一個有趣的觀點：「克羅內克和康托爾之間的鬥爭，不是傳統和創新的數學形式之間的衝突，而是新典範的競爭。克羅內克不是數學上的傳統主義者，為了反對當時的無窮和無理數、超越數和超限數等觀念，他被迫在一個激進的新基礎上重建一門新數學，他的成果預示著二十世紀直覺學派的誕生；正如康托爾成為形式主義運動的先驅一樣。兩個派別都希望數學變得更嚴密，但在如何達到這個要求上，他們有很深的分歧。」　　延續上一章的話題，竭力想創建新數學理論的康托爾，其理論相繼受到嚴峻的挑戰，一九○○年第二屆國際數學家大會在巴黎召開，著名的德國數學家大衛．希爾伯特指出：康托爾的連續統假設還沒有找到證據。一九○四年第三屆國際數學家大會在海德堡舉行，來自布達佩斯的著名數學家朱爾斯．柯尼希宣稱：康托爾連續統的勢不是任何阿列夫數。對此，來自哥廷根大學的年輕數學家恩斯特．策梅洛跳出來維護了康托爾，策梅洛不僅指出了柯尼希的錯誤，並認為證明康托爾的良序原理是完善集合論的首要工作，且進一步提供了證明良序原理所需要的關鍵步驟，此步驟的假定被稱為「聲名遠播的公理」（因為在很多國家、很多數學家之間激起回響），有贊成的，當然，也有反對的。最主要的反對者是法國的數學家埃來爾．波賴爾，根本上來說，波賴爾在直接挑戰策梅洛「從每一個非空子集中，可以挑出或指定一個元素作為特殊元素，這樣，我們就可以創建一個良序集合」的主張，也反對選擇所謂的「公理」，因為它需要無窮次操作，這是難以想像的。波賴爾和策梅洛的「公理」之爭（第七章），一直沒有完全地解決，《數學中的現實主義》一書作者佩尼洛普．馬迪倒是作出這樣的詮釋：「這整段歷史插曲中最具諷刺意味的是：對這個公理最強烈的反對正是來自法國分析家小組──貝爾、波賴爾和勤貝格，而他們卻在無意中非常頻繁地用到它，他們的工作部分地說明了數學中不可缺少它。」　　一九○一年的春天，數學家們都面臨著伯特蘭．羅素「悖論」的挑戰（第八章）。這位由哲學家轉變而成的英國著名數學家，提出了一個乍看之下很簡單的問題「他假定一個由所有不是自身元素的集合所組成的集合，稱這個集合為Ｒ。然後他問：集合Ｒ是它自身的一個元素嗎？如果是，那麼它不符合這個集合元素的定義；如果不是，那麼它是這個集合的一個元素。」這個悖論有著深刻的寓意，早期的集合論考慮過包容一切事物的泛集合的可能性，現在看來，這是不可能的，不是每種事物都能形成集合。它居然動搖了集合論和它所支撐的廣闊數學領域的基礎。由於它沒有答案，所以是一個悖論，或者說是個矛盾。當羅素提出他的悖論時，也已經開始致力於對他在邏輯主義上的努力，他堅信純粹數學可以建立在少數基本的、合乎邏輯的觀念基礎上，所有的命題都可以從一小部分基本的、合乎邏輯的原理推導出來，他也希望能夠解決這個悖論，《數學原理》便是在這樣的努力下問世。對此，備受推崇的法國數學家萊爾斯．龐加萊對羅素的邏輯主義發起了一個全面的批判。這位在數論、拓樸學、機率論和數學物理等諸多領域都有建樹的數學科學家，和羅素之間的一系列爭論和反擊從一九○六年持續到一九一○年，雖然兩人彼此非常尊重，但攻擊起對方來毫不猶豫。　　就在羅素「邏輯主義」方興未艾之際，數學界已經同時領會了大衛．希爾伯特的代表作《幾何基礎》，在他的觀點中，有一個想讓公理化體系更普遍的願望，他想建立首尾一致的算術公理體系和從它們開始推導的步驟。他還認為，給羅素等人帶來問題的悖論是由所用語言的語意內容造成的，也就是說，是由語句的模糊造成的。就這樣，希爾伯特名為形式主義的學派誕生了。但是，就在這時，荷蘭數學家伊茲．布勞威爾持有一個針鋒相對的立場，他相信人類存在著根深柢固的關於數學基礎的思考模式，大部分以數學方式提出來的東西只不過是裝飾而已，他成為了後來稱之為直覺主義數學學派的旗手。在希爾伯特與布勞威爾的論戰中（第九章），所有的分岐──包括參與者的國籍，都派上了用場。當論戰擴大到欲拉攏彼此的支持者時，選擇保持中立的愛因斯坦形容它就像是一場「青蛙和老鼠的戰爭」。　　最後，作者回顧了一個很多年來令數學家們苦惱並著迷的問題：數學的進步是發明還是發現？雖然它本身相當有趣，但也引發了一場論戰（第十章）。絕對主義或柏拉圖主義的擁護者們，把數學看作是客觀和精確的，他們運用數學非凡的能力來描述自然和技術中的運動和形態，並主張：真正的數學知識是完美和永恆的（所以說：數學的進步是發現）。持相反意見的是易誤論者與建構主義者，他們把數學看成是一個不斷進步的活動，甚至主張：某些數學進展被接受是建立在數學家們的權威基礎上（所以說：數學的進步是發明）。您認為呢？全書到這裡告一段落，您是否也有意猶未盡的感覺？作者留下了這樣一段話：「但我可以期待，或至少可以希望，每一次危機之後，數學界將會從以前所發生的事中學到某些東西，從而變得更強大、更聰明」。作者是否為下一部著作預留了伏筆？值得進一步期待。推薦三：數學的江湖恩仇錄汪宇（復旦大學出版社「西方數學文化理念傳播譯叢」主編、十大學術出版人）二○○九年三月四日於長寧圖書館　　武俠大師古龍云：有人群的地方就有江湖，有江湖就有是非恩怨。數學界豈能例外？同行相爭、師生反目、兄弟鬩牆、父子成仇，居然也發生在「純淨的」數學界。本書對數學家人性的殘酷描述，可能會對普通人，尤其是那些對數學、數學家懷有莫名崇敬的年輕學子的某些觀念，可能造成顛覆性的衝擊。　　本書是一部視角獨特、別開生面的數學思想史，我抱著嚴肅的態度向讀者推薦此書。我們推薦的讀者對象也包括非數學專業的一般讀者。數學知識不夠不要緊，不妨就當一本小說來讀，其感染力一點也不比虛構小說遜色，而且裡面的情節都是真實的、可靠的，並非「大話」、「戲說」。作者的章節安排，也有些類似於中國傳統章回體小說，各自獨立成篇，卻也相互勾連，上下呼應。說實在的，略過具體的數學知識，把這本書當作數學江湖恩仇錄來讀，也無妨，或者滋味更好。由獵奇入，從正史出，這樣的閱讀體驗還是值得一試。　　不少數學家喜愛讀武俠小說，沉浸在江湖波瀾和刀光劍影中，得到莫大的愉悅。數學史的歷史真實，其精彩與殘酷甚於虛構的武俠小說。通覽全書，彷彿看到天才們在智力的巔峰上，以筆為劍、捉對廝殺，直到雙方淒涼離世，一生一世也較量不出勝負。其情其景驚心動魄，多麼壯觀多麼悲涼。我不是一個輕易為文本所打動的人，當看到全書的一半時，粗糲的情感神經還是繃不住了，不禁動容。為康托爾、也為克羅內克，為書中所有不幸的數學天才。天才是人類的福祉，卻是自己和家人的苦難。　　其實，這本書就是一部數學的「五嶽爭鋒」、「華山論劍」。　　本書中所敘及的人物，個個都是頂尖的數學家，不世出的天才，好比江湖武林中的各路英豪。笛卡兒、費馬、牛頓、萊布尼茲、伯努利父子兄弟、康托爾、克羅內克、歌德爾、羅素等等，令人想起金庸筆下的武學大師。大約與《鹿鼎記》相當的時代，並世兩位巨人——牛頓與萊布尼茲，各踞海峽兩岸，雙峰並峙。一個是英倫三島的科學盟主，「天才中的天才」；一個是歐洲大陸科學與哲學的曠世高人，亞里斯多德以來最博學的「全能型的天才」。為了誰是「微積分第一人」，較量幾十年，難分勝負。但彼此於對方的蓋世科學「神功」和數學「內力」，也是相互敬佩，暗挑大拇哥。像極了《雪山飛狐》中胡一刀與苗人鳳，一為天下第一刀，一為天下第一劍，因誤會結下世仇，以生死互博，又惺惺相惜。牛頓與萊布尼茲之爭，大半是身邊人的攛掇。攛掇的人也是一流的數學高人。牛頓這邊的沃利斯，數學名家，身懷破譯密碼的絕技；萊布尼茲那邊主要是瑞士伯努利家族，家學淵深，微積分的造詣更是爐火純青。　　武林中有五嶽劍派爭盟主。類似地，二十世紀起，數學界分化為幾個相互敵對、競爭的群體和學派，最後，逐漸形成三個主要學派爭高下較短長（詳見本書作者緒言）。邏輯主義學派——掌門人是羅素，經過與世界級的數學家龐加萊（數學功法路數純正，反對符號邏輯，堪比洪七公）苦戰之後，其「江湖地位」終於得以確立，為數學界一大門派。形式主義舵主希爾伯特與直覺主義掌門人布勞威爾打得不可開交，希望「江湖大佬」愛因斯坦能援手，愛因斯坦卻作壁上觀，保持中立。還嘲諷地說，你們這是青蛙和老鼠打架。像不像桃花島上東邪西毒琴簫大戰，在一旁說風涼話的老頑童周伯通？　　武學深不可測，武林秘笈玄奧，一部《九陰真經》，使得多少武林高人走火入魔，陷入癲狂。數學亦如此，天才級的數學家往往要遭受精神疾病的折磨，本書已有涉獵，此不例舉。一個費馬大定律，近三百六十年間，耗盡多少數學癡迷者的生命；康托爾創立的集合論，是數學中的《九陰真經》，讓多少數學才俊誤入歧途，心蕩魂散；數理邏輯是數學中的《葵花寶典》，誰要練這個，事前得掂量掂量，問問你父母和女朋友答應不答應。　　本書描述的十大論爭，可不是從獵奇的角度選取的，實際上，這十大爭論所涉，都是數學史上最基礎、最關鍵、最根本的問題；緊繞數學根基的動搖和新數學的建立而展開的。數學喪失了確定性後，如何夯實數學基礎，如何建立「基礎而統一的」數學理論，可以視作本書的主線。沃利斯與霍布斯（政治學大師，數學界的「裘千丈」乎？）的「化圓為方」之爭，對壘了四分之一個世紀，詈罵不遜於潑婦，熱鬧得很，但沒有太高的「數學含量」，本書未收錄（收在其他書中）。在作者看來，無論是正方還是反方，無論是出於純粹的數學目的還是挾帶個人私怨，數學家們的所做所為實際上都是是在捍衛數學、拯救數學，這也是在拯救科學、拯救人類文明。

緒論鳴謝第一章　塔爾塔利亞和卡爾達諾：求解三次方程式第二章　笛卡兒與費馬：解析幾何與光學第三章　牛頓和萊布尼茲：微積分發明之爭第四章　伯努利兄弟：最高排名的兄弟之爭第五章　西爾維斯特和赫胥黎：數學——象牙塔還是真實的世界？第六章　克羅內克與康托爾：數學的騙局第七章　波賴爾和策梅洛：「聲名遠播」的公理第八章　龐加萊與羅素：數學的邏輯基礎第九章　希爾伯特與布勞威爾：形式主義與直覺主義第十章　絕對主義者∕柏拉圖主義者與易誤論者∕建構主義者：數學上的進步是發現還是發明？尾聲