對於科學發展而言，微積分對應的是古典力學；線性代數則對應的是量子力學。線性代數看似起步較晚，然而其涵蓋的範圍快速擴張，幾乎與微積分比肩齊行。對工業技術而言，第五次工業革命是一個從機械化、電氣化、自動化、數位化到人因化的漸進發展結果，人工智慧（Artificial Intelligence, AI）的應用，對現代科技與日常生活的穿透力，早已是無遠弗屆，勢不可擋。然而發展人工智慧的關鍵，就在於數學基礎，更精確地說，則是微積分、線性代數，再加上機率與統計。
本書的內容包含了線性代數的範圍、向量與矩陣、線性方程式、向量空間、投影與線性轉換、行列式、本徵值與本徵向量、正定矩陣與應用、不變子空間、Jordan標準式、奇異值分解。教材目標主要是介紹基礎的線性代數概念，指向人工智慧的數學基礎所需，而定理的證明，盡量以簡明的範例與練習運算作說明。詳細的計算過程載於另冊，讀者可參閱《基礎線性代數範例與練習解答》一書。
本書可作為「線性代數」、「高等代數」、「抽象代數」、「工程數學」相關科目的參考教材。

倪澤恩

現任：
長庚大學電子工程學系教授

學歷：
國立中央大學光電科學研究所博士
國立中央大學光電科學研究所碩士
國立中央大學電機工程學系學士

第1章　線性代數緒論
1-1 線性代數的內容
1-2 線性代數的範疇
1-3 純量、向量、矩陣與八元數的緣起
1-4 向量與矩陣的關係
1-5 線性代數的基本元素
1-5-1　維度初探
1-5-2　向量
1-5-3　矩陣
1-5-4　向量空間
1-6 向量的維度、矩陣的維度與向量空間的維度
1-7 增廣矩陣法
1-8 線性代數的架構

第2章　向量與矩陣
2-1 向量和矩陣
2-1-1　向量的運算
2-1-2　矩陣的運算
2-1-3　矩陣和向量的乘法運算
2-1-4　矩陣分區
2-1-5　向量與向量的乘積
2-1-6　外積與線性映射
2-1-7　矩陣與向量的乘積
2-1-8　矩陣與矩陣的乘積
2-2 矩陣相乘的四種圖像
2-3 矩陣的跡
2-4 基本矩陣
2-5 逆矩陣和逆置操作
2-6 逆矩陣的幾何解釋
2-7 轉置操作
2-8 置換矩陣
2-9 對稱矩陣
2-9-1　對稱矩陣的特性
2-9-2　斜對稱矩陣（Skew symmetric matrix）的特性
2-9-3　建構對稱矩陣的方法
2-10 正交矩陣與正交歸一矩陣
2-10-1　正交矩陣
2-10-2　正交矩陣的特性
2-10-3　正交轉換的特性
2-10-4　對稱矩陣正交對角化的演算
2-11 Hermitian矩陣
2-12 么正矩陣
2-13 冪零矩陣
2-14 冪等矩陣
2-15 正規矩陣

第3章　解線性方程式的基礎
3-1 樞軸變數與自由變數
3-2 梯形矩陣、列梯矩陣和最簡列梯矩陣
3-2-1　梯形矩陣
3-2-2　列梯矩陣
3-2-3　最簡列梯矩陣
3-3 列簡化法
3-4 樞軸變數與自由變數
3-5 矩陣的LU分解與求解方程式
3-5-1　主子式
3-5-2　矩陣的LU分解
3-5-3　A = LU和PA = LU
3-5-4　LU分解的演算法

第4章　線性方程組
4-1 線性代數的幾何原理
4-1-1　向量的幾何圖像
4-1-2　線性方程組的幾何圖像
4-2 線性幾何和線性方程組
4-2-1　線性空間的交點
4-2-2　向量的線性組合
4-3 線性聯立方程組的四種圖像
4-4 矩陣方程組的解
4-5 解線性方程組的方法
4-5-1　後向替代法
4-5-2　求解線性方程組──LU分解
4-5-3　求解線性方程組──Gauss-Jordan消去法
4-6 最簡列梯矩陣與線性方程組的完整解
4-7 一致的方程組與不一致的方程組
4-8 方程組解和矩陣表示的關係

第5章　向量空間
5-1 向量空間與向量子空間
5-2 函數和向量的關係
5-3 向量子空間的交集與聯集
5-4 矩陣的四個基本向量子空間
5-5 向量子空間的維度
5-6 四個基本向量子空間基底向量的定義
5-6-1　由定義求四個基本向量子空間
5-6-2　以圖像法求四個向量子空間
5-6-3　以增廣矩陣法求四個向量子空間
5-7 對偶空間
5-8 正交補餘

第6章　線性轉換與投影
6-1 線性轉換
6-2 線性變換與矩陣
6-3 矩陣變換的幾何意義
6-4 平面的線性變換的幾何學
6-5 齊次座標
6-6 正交投影
6-7 Gram-Schmidt 過程
6-8 投影矩陣
6-8-1　正交投影矩陣
6-8-2　投影矩陣的表示式
6-8-3　有序基底
6-9 改變基底向量的效應
6-9-1　基底變化對向量表示的影響
6-9-2　基底變化對線性轉換矩陣表示的影響
6-10 基底變化對線性算符矩陣的影響
6-11 QR 分解
6-11-1　QR分解與求解方程式
6-11-2　矩陣的QR分解
6-11-3　矩陣A行向量是獨立的
6-11-4　矩陣A行向量不是獨立的
6-11-5　完整的QR分解

第7章　行列式
7-1 行列式的定義
7-2 行列式的計算
7-3 行列式的性質
7-4 三個計算行列式值的方法
7-4-1　行列式的樞軸法
7-4-2　行列式的置換展開
7-4-3　行列式的餘因數法
7-5 行列式和幾何學
7-6 Cramer 規則
7-7 非齊次方程式和參數變化法

第8章　本徵值與本徵向量
8-1 本徵值與本徵向量
8-2 本徵值和本徵向量的幾何意義
8-3 幾何重根數與代數重根數
8-4 本徵值的三個性質
8-5 矩陣對角化
8-6 相似轉換的重要特性
8-7 矩陣的平方根
8-8 矩陣可以被對角化的條件

第9章　正定矩陣與應用
9-1 範數
9-2 波譜分解
9-3 二次形式
9-4 二次形式的矩陣的基底轉換規則
9-5 主軸理論
9-6 主軸的幾何學觀點
9-7 正定矩陣
9-8 Cholesky分解
9-9 多變數梯度
9-9-1　Rayleigh商的極值
9-9-2　極大化極小原理與極小化極大原理

第10章　不變子空間
10-1 不變子空間
10-2 廣義本徵向量初探
10-3 塊狀三角形矩陣或塊狀對角矩陣的演算法
10-4 不變子空間的圖像概念
10-5 不變子空間的定義
10-6 不變子空間的基底向量
10-7 幾個重要的例子
10-8 塊狀三角形矩陣
10-9 由線性獨立向量延伸出一組基底的方法
10-10 對角區塊形式與不變子空間的直和

第11章　Jordan標準式
11-1 複數與實數的差異
11-2 向量空間的實數化和複數化
11-2-1　複數
11-2-2　複數向量
11-2-3　複數向量空間
11-2-4　複數向量矩陣的共軛
11-2-5　複數向量矩陣
11-2-6　複數線性轉換
11-3 實數矩陣的複數可對角化與複數不可對角化
11-3-1　複數可對角化的實數矩陣
11-3-2　複數不可對角化的實數矩陣
11-4 複數本徵值的動力學
11-4-1　複矩陣與複數的類同
11-4-2　一個具有複數本徵值的(2 × 2)矩陣的動力學過程
11-5 Jordan分解
11-6 Jordan形式的矩陣理論基礎
11-6-1　行空間、零核空間與Jordan標準基底
11-6-2　Jordan點圖
11-7 Jordan標準形式初探
11-8 廣義本徵向量
11-9 廣義本徵向量鏈
11-10 方陣和Jordan標準形式的關係
11-11 Jordan標準形式的演算法
11-12 點圖與Jordan基底向量
11-12-1　上面對齊的Jordan點圖寬度和長度的方式
11-12-2　下面對齊的Jordan點圖寬度和長度的方式
11-13 Jordan標準形式的演練
11-14 Jordan形式的次冪運算

第12章　奇異值分解
12-1 奇異值分解的直覺定義
12-2 SVD的演算法
12-3 奇異值分解的演算與應用
12-4 SVD和四個基本子空間
12-5 奇異值分解的原理
12-6 極分解
12-6-1　右／左極分解
12-7 廣義逆矩陣
12-8 左逆矩陣和右逆矩陣、廣義逆矩陣
12-8-1　左逆矩陣
12-8-2　右逆矩陣
12-8-3　廣義逆矩陣與四個基本向量子空間
12-9 廣義線性模型
12-9-1　 簡單回歸和多元回歸
12-9-2　線性最小方乘法問題的一般解
12-9-3　最小範數解和最小平方誤差問題
12-9-4　不完全確定方程組和過度確定的方程組

參考資料
索引